2010年09月10日

エレガントな解法

d07bab7e.jpg何かありそうだけど、思いつかない。バカ正直に計算すれば45度か。

何かないのかな〜。真ん中で縦に分割したとき、小さい半円と、残りの半円できりとられた部分の面積が等しいってことを計算なしで示せれば良いのか?


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この記事へのコメント
初めて書き込みさせていただきます。中学入試の算数の解説ブログを運営しているゆんたくと申します。

このひとだまみたいな形をした面積の求め方の解説を気まぐれで作成してみましたので、もしよろしければ下記アドレスからご覧ください。
ttp://kimagure123.bijual.com/Entry/242/

あ、でもそんなに面白い解説ではないので、見るときは期待しないでくださいね(笑)

この問題には円周率が書かれていないので、「×3.14」をしないで解くのが最大のポイントだと思います。

それでは。
Posted by ゆんたく at 2010年09月10日 22:46
中心角[あ]の扇がたの面積を「扇あ」と呼ぶ

卍の細い部分を含む面積は
200π-50π-扇あ
卍の丸を含む太い部分の面積は
50π+扇あ

これらが等しい時の「扇あ」の面積は50πなので
半径20cmの外周円の半分の半分の半分
即ち360->180->90->45

答え 45度
Posted by 大人気なく at 2010年09月11日 01:06
skixおよびskitecでお世話になっています。
最近うちの娘が日能研に通いだしまして、日能研のサイトを
ちょくちょく見るようになりました。

> 何かないのかな〜。真ん中で縦に分割したとき、小さい半円と・・・
多分ビンゴだと思います。

URLは問題ページなので、リンク踏んでも「犯人はヤス」には
ならないので、ご安心を。
Posted by bosco at 2010年09月11日 02:34
面積比4:1分半分より左だから45度。
Posted by えぢい at 2010年09月11日 09:57
> 初めて書き込みさせていただきます。

コメントありがとうございます(^^

> この問題には円周率が書かれていないので、「×3.14」をしないで解くのが最大のポイントだと思います。

僕もこれを投稿したとき、電車で見ながら暗算して45度というのを出したわけですが、大円が400π、小円が100π、1/4大円が100πで半小円が50πだから1/4大円は半小円によって二分割されている、だから、左上の1/4大円を二分割する角度で45度、と計算しました。

この、大円400π、小円100πというところがどうにもエレガントじゃないなーと思いました。3.14でも3でもπでもxでも良いのですが、半径自乗×何か、という式を使わずに、折り紙とハサミだけでなんとかならないのかなーと思った次第です。
Posted by buu* at 2010年09月11日 12:59
> URLは問題ページなので、リンク踏んでも「犯人はヤス」には
> ならないので、ご安心を。

情報ありがとうございます。サイト、見てみました。僕のやり方は別解3が近いようですね。

「90度の扇形の中に半円がぴったりと入っている場合、半円エとそれ以外の部分ウの面積は等しくなります。」

の部分を、何か上手に説明できないのかなー、というのが個人的な希望だったのですが・・・・・・・・
Posted by buu2 at 2010年09月11日 13:12
「“犯人はヤス”と載ってないページ」を見ずにコメントしますので重複してたらスミマセン。


辺の比が2:1なので、図形の面積比は4:1。

大きい円の左上90度分の扇形をつくるように
Aから垂直に補助線をひく。

さらに左上90度分の扇形の面積を二等分するために補助線を引く
(Aを通る45度の線)

補助線を引いた図を見て、小さい半円の面積を「1」とすると、
左上90度分の扇形の面積は「4」の半分の「2」。
したがってヒトダマのシッポの面積は「4」-「2」-「1」で「1」。

左上の扇形の面積は「2」なので
それを二等分した扇形2ヶはそれぞれ「1」と「1」。

よって、図形より求める角度は「45度」。”

この手の問題は補助線とプロポーションの採り方にエレガンスがあればいいんじゃないか思ったりもしますがどうでしょうね。
もしくは自然発生的な偶発を求めるワイルドさもありかも。

ちなみに
ワイルド派の私は、ヤスを100回殴ります。

Posted by あつし at 2010年09月12日 00:29
> 辺の比が2:1なので、図形の面積比は4:1。

この、積分的な考え方は小学生的には難しいんじゃないかなー。

もっと、こう、なんというか、ハサミとのりで説明できないかなー、と思うのです。ムリかな・・・。
Posted by buu* at 2010年09月12日 01:20
中学受験経験者です。
もう十年以上も前の話ですが、辺の比と面積比・体積比の関係については塾で教わったと記憶してます。
ので、おそらくですが今の受験生たちも知ってると思いますよ。

蛇足ですが、私の解法はこんな感じになりました。「ハサミとのり」と、「容器と水」を組み合わせた感じですね。

そもそも問題の図形全体の面積は明らかに、半径20cmの半円のそれと同じ。
だから、「図の二等分」の面積は
 ・半径20cmで中心角90°のおおぎ形の面積

一方、「図の二等分」の左側は次の二つの部分に分離できる。
 ・半径20cmで中心角[あ]のおおぎ形
 ・半径10cmの半円

つまり、面積で考えると
 【半径10cmの半円】+【半径20cmで中心角[あ]のおおぎ形】=【半径20cmで中心角90°のおおぎ形】
となる。
 【半径10cmの半円】=【半径20cmの半円】÷4 =【半径20cmで中心角45°のおおぎ形】
なので、
 45°+ [あ] = 90°
 [あ] = 45°
Posted by rem at 2010年09月20日 02:37
> ので、おそらくですが今の受験生たちも知ってると思いますよ。

そうなんだ!

> 蛇足ですが、私の解法はこんな感じになりました。「ハサミとのり」と、「容器と水」を組み合わせた感じですね。

なんか、大分イメージに近づいた感じです(^^ このくらいが限界かなぁ。ちなみに「おうぎがた」です。発音は「おーぎ」ですが、語源が「あふぎ」なので、おうぎがたが正しい表現になります。
Posted by buu* at 2010年09月20日 12:56